Thanh toán nợ bằng chuỗi niên kim biến đổi theo cấp số nhân

Bài toán: 1 người vay tiền NH 500 triệu. Trả làm 10 lần thì hết nợ, lần đầu trả a (triệu)cách lúc vay 1 năm, lần sau trả bằng lần trước nhân với 1.05. Xác định dòng thứ 8 của bảng thanh toán nợ?

Giải:

\begin{array}{ccccc} \textrm{ Lan tra}&\textrm{Du dau ky}&\textrm{Tra lai}&\textrm{Tra goc}&\textrm{Nien kim}\\1&D_0&I_1&m_1&a_1\\2&D_1&I_2&m_2&a_2\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\k&D_{k-1}&I_{k}&m_k&a_k\end{array}

\displaystyle V_0=\frac{a}{(1+i)^{10}} \times \frac{(1+i)^{10}-q^{10}}{(1+i)-q} \Rightarrow a=67.21 tr

Cách 1: Tính D_7 trước

\displaystyle \begin{aligned}D_7&=V_0(1+i)^7-[a(1+i)^6+aq(1+i)^5+\cdots+aq^6]\\&=V_0(1+i)^7-a\times\frac{(1+i)^7-q^7}{(1+i)-q}\\&=246.32tr \end{aligned}

Cách 2: Tính m_8 trước

Lần trả thứ k: \displaystyle a_k=I_k+m_k=D_{k-1}i+m_k

Lần trả thứ k+1: \displaystyle a_{k+1}=I_{k+1}+m_{k+1}=D_{k}i+m_{k+1}

\displaystyle \Rightarrow a_{k+1}-a_k=i(D_k-D_{k-1})+(m_{k+1}-m_k)

\displaystyle\Rightarrow aq^k-aq^{k-1}=-im_k+m_{k+1}-m_k

\displaystyle\Rightarrow m_{k+1}-(1+i)m_k=aq^{k-1}(q-1)

\displaystyle\Rightarrow m_{k+1}-(1+i)^km_1=a(q-1)[q^{k-1}+q^{k-2}(1+i)+\\+...+(1+i)^{k-1}]

\displaystyle \Rightarrow m_{k+1}=(1+i)^km_1+a(q-1)\frac{q^k-(1+i)^k}{q-(1+i)}

hay \displaystyle m_{k}=(1+i)^{k-1}m_1+a(q-1)\frac{q^{k-1}-(1+i)^{k-1}}{q-(1+i)}

\Rightarrow m_8=69.9395

Kết luận: Dòng thứ 8 của bảng thanh toán nợ:

\displaystyle \begin{array}{ccccc} \textrm{ Lan tra}&\textrm{Du dau ky}&\textrm{Tra lai}&\textrm{Tra goc}&\textrm{Nien kim}\\8&246.32&24.6317&69.9395&94.5712\end{array}


One Response

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: