Đề thi và đáp án Olympic toán sinh viên toàn quốc 2010 tại Huế

Posted on November 1, 2010 by ducmanh

MÔN ĐẠI SỐ

Câu 1: Cho A, B là các ma trận vuông cấp 2010 với hệ số thực sao cho:

$\displaystyle detA=det(A+B)=det(A+2B)=\cdots=det(A+2010B)=0$

(i) Chứng minh rằng: $\displaystyle det(xA+yB)=0\ \forall x,\ y \in \mathcal{R}$

(ii) Tìm ví dụ chứng tỏ kết luận trên không còn đúng nếu chỉ có:

$\displaystyle detA=det(A+B)=\cdots=det(A+2009B)=0$

Câu 2: Cho $\displaystyle \{u_n\}, \{v_n\}, \{w_n\}$ là các dãy số thực xác định bởi: $\displaystyle u_0=v_0=w_0=1$ ,

và $\displaystyle \forall n \in N$ :

$\displaystyle \begin{cases} {u_{n+1}=-u_n-7v_n+5w_n} \\ {v_{n+1}=-2u_n-8v_n+6w_n} \\ {w_{n+1}=-4u_n-16v_n+12w_n} \end{cases}$

Chứng minh rằng $\displaystyle v_n-2$ là số nguyên chia hết cho $2^n$

Câu 3:

(i) Chứng minh rằng ứng với mỗi n nguyên dương, biểu thức $\displaystyle x^n+y^n+z^n$ có thể biểu diễn được dưới dạng đa thức $\displaystyle P_n(s,p,q)$ bậc không quá n của các biến

$\displaystyle s=x+y+z, p=xy+yz+zx, q=xyz$

(ii) Hãy tìm tổng hệ số của các đa thức $\displaystyle P_{2010}(s,p,q)$

Câu 4: Xác định các đa thức thực $P(x)$ thỏa mãn điều kiện:

$\displaystyle P(x)P(x^2)=P(x^3+2x), \ \forall x \in \mathcal{R}$

Câu 5: Chọn 1 trong 2 câu sau:

5a. Cho A là ma trận thực vuông, cấp $\displaystyle n \geq 2$ , có tổng các phần tử trên đường chéo bằng 10 và $rank(A)=1$ . Tìm đa thức đặc trưng và đa thức tối thiểu của A (đa thức tối thiểu của A là đa thức $\displaystyle P(t)=0$ có bậc nhỏ nhất, với hệ số thực và hệ số của lũy thừa có bậc cao nhất bằng 1 sao cho $\displaystyle P(A)=0$ )

5b. Cho $A, B, C$ là các ma trận thực vuôn cấp n, trong đó $A$ khả nghịch và đồng thời giao hoán với $B$ và $C$ . Giả sử $\displaystyle C(A+B)=B$ . Chứng minh rằng B và C giao hoán với nhau.

MÔN GIẢI TÍCH

Câu 1: Cho hàm số $\displaystyle f(x)=ln(x+1)$

a) Chứng minh rằng với mọi $\displaystyle x>0$ tồn tại duy nhất số thực c thỏa mãn điều kiện $\displaystyle f(x)=xf'(c)$ mà ta ký hiệu là $\displaystyle c(x)$

b) Tìm

$\displaystyle lim_{x \to 0^+} \frac{c(x)}x$

Câu 2: Dãy số $\displaystyle \{x_n\}$ được xác định bới: $\displaystyle x_1=1, \ x_{n+1}=x_n(1+x_n^{2010}), n\geq 1$

Tìm

$\displaystyle lim_{n \to \infty} (\frac{x_1^{2010}}{x_2}+\frac{x_2^{2010}}{x_3}+ \cdots+\frac{x_n^{2010}}{x_{n+1}})$

Câu 3: Cho $\displaystyle a\in \mathcal{R}$ và hàm số $f(x)$ khả vi trên $[0,\infty)$ thỏa mãn các điều kiện $f(0) \geq 0$ và $\displaystyle f'(x)+af(x) \geq 0, \ \forall x \in [0,\infty)$ .