Đề thi và đáp án Olympic toán sinh viên toàn quốc 2010 tại Huế

 

MÔN ĐẠI SỐ

Câu 1: Cho A, B là các ma trận vuông cấp 2010 với hệ số thực sao cho:

\displaystyle detA=det(A+B)=det(A+2B)=\cdots=det(A+2010B)=0

(i) Chứng minh rằng: \displaystyle det(xA+yB)=0\ \forall x,\ y \in \mathcal{R}

(ii) Tìm ví dụ chứng tỏ kết luận trên không còn đúng nếu chỉ có:

\displaystyle detA=det(A+B)=\cdots=det(A+2009B)=0

Câu 2: Cho \displaystyle \{u_n\}, \{v_n\}, \{w_n\}  là các dãy số thực xác định bởi: \displaystyle u_0=v_0=w_0=1,

\displaystyle \forall n \in N:

\displaystyle \begin{cases} {u_{n+1}=-u_n-7v_n+5w_n} \\ {v_{n+1}=-2u_n-8v_n+6w_n} \\ {w_{n+1}=-4u_n-16v_n+12w_n} \end{cases}

Chứng minh rằng \displaystyle v_n-2 là số nguyên chia hết cho 2^n

Câu 3:

(i) Chứng minh rằng ứng với mỗi n nguyên dương, biểu thức \displaystyle x^n+y^n+z^n có thể biểu diễn được dưới dạng đa thức \displaystyle P_n(s,p,q) bậc không quá n của các biến

\displaystyle s=x+y+z, p=xy+yz+zx, q=xyz

(ii) Hãy tìm tổng hệ số của các đa thức \displaystyle P_{2010}(s,p,q)

Câu 4: Xác  định các đa thức thực P(x) thỏa mãn điều kiện:

\displaystyle P(x)P(x^2)=P(x^3+2x), \ \forall x \in \mathcal{R}

Câu 5: Chọn 1 trong 2 câu sau:

5a. Cho A là ma trận thực vuông, cấp \displaystyle n \geq 2, có tổng các phần tử trên đường chéo bằng 10 và rank(A)=1. Tìm đa thức đặc trưng và đa thức tối thiểu của A (đa thức tối thiểu của A là đa thức \displaystyle P(t)=0 có bậc nhỏ nhất, với hệ số thực và hệ số của lũy thừa có bậc cao nhất bằng 1 sao cho \displaystyle P(A)=0)

5b. Cho A, B, C là các ma trận thực vuôn cấp n, trong đó A khả nghịch và đồng thời giao hoán với BC. Giả sử \displaystyle C(A+B)=B. Chứng minh rằng B và C giao hoán với nhau.

 

 

MÔN GIẢI TÍCH

 

Câu 1: Cho hàm số \displaystyle f(x)=ln(x+1)

a) Chứng minh rằng với mọi \displaystyle x>0 tồn tại duy nhất số thực c thỏa mãn điều kiện \displaystyle f(x)=xf'(c) mà ta ký hiệu là \displaystyle c(x)

b) Tìm

\displaystyle lim_{x \to 0^+} \frac{c(x)}x

 

Câu 2: Dãy số \displaystyle \{x_n\} được xác định bới: \displaystyle x_1=1, \ x_{n+1}=x_n(1+x_n^{2010}), n\geq 1

Tìm

\displaystyle lim_{n \to \infty} (\frac{x_1^{2010}}{x_2}+\frac{x_2^{2010}}{x_3}+ \cdots+\frac{x_n^{2010}}{x_{n+1}})

 

Câu 3: Cho \displaystyle a\in \mathcal{R} và hàm số f(x) khả vi trên [0,\infty) thỏa mãn các điều kiện f(0) \geq 0\displaystyle f'(x)+af(x) \geq 0, \ \forall x \in [0,\infty).

Chứng minh rằng

f(x) \geq 0, \ \forall x \geq 0

 

Câu 4: Cho hàm f(x) khả vi liên tục trên [0,1]. Giả sử rằng

\displaystyle \int_0^1 f(x)dx=\int_0^1 xf(x)dx=1

Chứng minh rằng tồn tại c \in (0,1) sao cho f'(c)=6.

 

Câu 5: Cho đa thức P(x) bậc n với hệ số thực sao cho P(-1) \neq 0\displaystyle -\frac{P'(-1)}{P(-1)} \leq \frac n2.

Chứng minh rằng P(x) có ít nhất một nghiệm \displaystyle x_0 với \displaystyle |x_0| \geq 1.

 

Câu 6: Chọn một trong hai câu sau:

6a. Tìm tất cả các hàm số dương f(x) khả vi liên tục trên [0,1] thỏa mãn các điều kiện f(1)=ef(0)

\displaystyle \int_0^1 \left ( \frac{f'(x)}{f(x)} \right )^2dx \leq 1

6b. Tìm tất cả các hàm f(x) liên tục trên \mathcal{R} và thỏa mãn các điều kiện:

\displaystyle f(1)=2010, và \displaystyle f(x+y)=2010^xf(y)+2010^yf(x), \ \forall x,y \in \mathcal{R}

 

ĐÁP ÁN: DOWNLOAD


2 Responses

  1. hello

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: