Giá trái phiếu và các phương án trả lãi coupon

Khi đọc bài định giá trái phiếu tự nhiên nghĩ ra câu hỏi: “Nếu lãi coupon được trả hàng năm so với lãi coupon được trả mỗi 6 tháng 1 lần thì giá trái phiếu nào cao hơn?” Sau đây xin mạo muội post câu trả lời và chứng minh của mình cho câu hỏi này :mrgreen::

Xét 2 trái phiếu A và B đều có mệnh giá là C, lãi suất i (%/năm), thời gian còn lại n (năm), lãi suất yêu cầu của nhà đầu tư là k (%/năm) 2 trái phiếu này chỉ khác nhau ở chỗ A trả lãi coupon 1 năm 1 lần, B trả lãi coupon 6 tháng 1 lần.

Ta có:

\displaystyle PV_A=\sum_{t=1}^n \frac I{(1+k)^t} +\frac C{(1+k)^n}=I \times \frac {1-(1+k)^{-n}}k+\frac C{(1+k)^n}

\displaystyle \begin{aligned}PV_B&=\sum_{t=1}^{2n} \frac {I/2}{(1+k/2)^t} +\frac C{(1+k/2)^{2n}}\\&=\frac I2 \times \frac {1-(1+k/2)^{-2n}}{k/2}+\frac C{(1+k/2)^{2n}} \end{aligned}

\displaystyle \begin{aligned}\Rightarrow &PV_A-PV_B\\&=I\times \frac{(1+k/2)^{-2n}-(1+k)^{-n}}k+C((1+k)^{-n}-(1+k/2)^{-2n})\\&=((1+k)^{-n}-(1+k/2)^{-2n})(C-\frac Ik)\\&=\underbrace{((1+k)^{-n}-(1+k/2)^{-2n})}_{>0}C(1-\frac ik)\end{aligned}

(\displaystyle (1+k)^{-n}-(1+k/2)^{-2n}>0\\ \Leftrightarrow 1+k<(1+k/2)^2=1+k+\frac {k^2}4\leftarrow \textrm{obviously })😀

Như vậy là dấu của \displaystyle PV_A-PV_B  trùng với dấu của \displaystyle 1-\frac ik  hay dấu của \displaystyle k-i

Kết luận: Với \displaystyle k>i thì \displaystyle PV_A>PV_B và ngược lại

One Response

  1. He he, nhà toán học Mạnh thỉnh thoảng lại có những phát kiến vĩ đại thật í ;))

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: