Ứng dụng BĐT Bernoulli so sánh lãi suất tương đương và lãi suất tỷ lệ

Bất đẳng thức (BĐT) Bernoulli là 1 BĐT quen thuộc ở THPT, bài viết sau sẽ ứng dụng bất đẳng thức này để chứng minh một kết quả trong toán tài chính :D:

“Cho trước lãi suất năm, lãi suất tương đương của các thời kỳ trên một năm sẽ lớn hơn lãi suất tỷ lệ tương ứng, và ngược lại, lãi suất tương đương của các thời kỳ dưới một năm sẽ nhỏ hơn lãi suất tỷ lệ tương ứng” (*)

Bất đẳng thức Bernoulli

Cho x>-1 ta có:

(1+x)^{r}\geq1+rx với \displaystyle r>1

(1+x)^{r}\leq1+rx với \displaystyle 0<r<1

Có nhiều cách chứng minh bất đẳng thức trên, chẳng hạn khảo sát hàm số f(x)=(1+x)^{r}-rx trên \text{(-1;+\ensuremath{\infty})}

Chứng minh kết quả (*)

Ta sẽ chứng minh cho thời kỳ trên 1 năm, thời kỳ dưới 1 năm chứng minh tương tự:mrgreen:

Gọi lãi suất năm là i (%/năm), lãi suất tương đương của thời kỳ k năm (k>1) là \displaystyle i_{k} (%/k năm), lãi suất tỷ lệ của thời kỳ k năm là \displaystyle i' (%/k năm)

Ta có: \begin{cases}1+i_{k}=(1+i)^{k}\\i'=k\times i\end{cases}

Áp dụng BĐT Bernoulli (chú ý là k>1):

1+i_{k}=(1+i)^{k}\geq1+k\times i=1+i'\Rightarrow i_{k}\geq i'\Rightarrow i_{k}>i' (dấu “=” không xảy ra do i\neq 0)

\Rightarrow đpcm😀

One Response

  1. thi xong toán tài chính rồi mà. hôm ở nhà tôi cũng chứng minh rồi, mất công học lí thuyết, ai ngờ lại ko thi

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: