Đề thi chọn đội tuyển Olympic toán sinh viên 2011 trường ĐH Kinh tế quốc dân

Câu 1. Cho f, g là các hàm số từ R vào R thỏa mãn \displaystyle f(g(f(a)))=g(a)\displaystyle g(f(f(a)))=f(a) với mọi \displaystyle a\in R

Chứng minh rằng \displaystyle f\equiv g

Câu 2. Cho \displaystyle f:\text{[0,1]\ensuremath{\rightarrow}R } là hàm liên tục thỏa mãn:

\displaystyle \intop_{0}^{1}f(x)dx=\frac{\pi}{4}

Chứng minh rằng tồn tại \displaystyle x_{0}\in(0,1) sao cho:

\displaystyle \frac{1}{1+x_{0}}<f(x_{0})<\frac{1}{2x_{0}}

Câu 3. Chứng minh rằng:

\displaystyle \underset{n\rightarrow\infty}{lim}n^{2}\int_{0}^{1/n}x^{x+1}dx=\frac{1}{2}

Câu 4. Cho \displaystyle f:\text{[0,1]\ensuremath{\rightarrow}R } là hàm liên tục, thỏa mãn \displaystyle f(0)=1

\displaystyle f(\alpha x+(1-\alpha)y)\geq\alpha f(x)+(1-\alpha)f(y),\ \forall x,y,\alpha\in\text{[0,1]}

Chứng minh rằng

\displaystyle \int_{0}^{1}xf(x)dx\leq\frac{2}{3}\left[\int_{0}^{1}f(x)dx\right]^{2}

Câu 5. Cho hàm f khả vi hai lần trên R với f" liên tục trên [0,1] sao cho:

\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx=2\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}f(x)dx

Chứng minh rằng tồn tại \displaystyle x_{0}\in(0,1) sao cho \displaystyle f"(x_{0})=0

9 Responses

  1. câu 4 hơi chuối!!

  2. Kho wa thi sao noi

  3. câu 3 làm thế nào nhỉ? Mình biến đổi mãi mà k ra đc, hx.😦. Mà ai biết cấu trúc đề thi cấp trường sẽ thế nào k nhỉ?

  4. Cái câu 4 này biết dùng định lý trung bình rồi mà làm mãi không ra😦

    • À mình nhầm, câu 5 chứ nhỉ🙂
      Cái câu 3 thì dùng định lý trung bình cho tích phân thì phải ? :))

  5. anh oi anh co de thi dai so khong a?

  6. con de dai so anh co ko a?

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: