Đề thi Olympic toán sinh viên toàn quốc 2011 tại Quy Nhơn

MÔN ĐẠI SỐ

Bài 1. Xét không gian trên trường số thực R, chứng minh rằng tập hợp \displaystyle \{e^{x},e^{x^{2}},\cdots,e^{x^{n}}\} độc lập tuyến tính trong không gian các hàm liên tục \displaystyle C(0,+\infty)

Bài 2. Cho ba dãy số \displaystyle \{x_{n}\},\ \{y_{n}\},\ \{z_{n}\} xác định như sau:\displaystyle x_{0}=y_{0}=z_{0}

\displaystyle \begin{cases}  x_{n+1}=4x_{n}-y_{n}-5z_{n}\\  y_{n+1}=2x_{n}-2z_{n}\\  z_{n+1}=x_{n}-2z_{n}\end{cases}

Tìm \displaystyle x_{2011}

Bài 3. Cho các ma trận thực A, B vuông, cùng cấp n. Đặt \displaystyle C=AB-BA. Chứng minh rằng nếu ma trận C giao hoán với cả hai ma trận A và B thì tồn tại số nguyên dương m sao cho \displaystyle C^{m}=O_{n} (với O_{n} là ma trận không cấp n)

Bài 4. Tìm điều kiện cần và đủ đối với các tham số \displaystyle u,\ v\in R sao cho nếu đa thức \displaystyle P(x) bậc \displaystyle n\geq2 có n nghiệm thực (kể cả số bội) thì đa thức

\displaystyle P(x)+uP'(x)+vP"(x) cũng có n nghiệm thực

Bài 5. Hai sinh viên A và B chơi trò như sau. Cho một bảng vuông n\times n ô, n\geq2. Mỗi lượt, A chọn một số nguyên điền vào vị trí (i,j) nào đó (tùy chọn nhưng không lặp lại). Sau đó B được quyền chỉnh sửa giá trị đó bằng cách giữ nguyên, hoặc thêm bớt 1 đơn vị. Trò chơi kết thúc sau khi điền xong bảng để nhận được ma trận X. B khẳng định luôn có cách để nhận được ma trận X khả nghịch và không có điểm bất động (tức là không có vecto \displaystyle v\neq0 để \displaystyle Xv=v).

Khẳng định của B đúng hay sai? Hãy chứng minh nhận định của bạn.

Bài 6. Thí sinh chọn một trong hai câu sau:

6a. Tìm điều kiện của các tham số a,b,c,d để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

\displaystyle \begin{cases}  (1+a)x_{1}+(1+a^{2})x_{2}+(1+a^{3})x_{3}+(1+a^{4})x_{4}=0\\  (1+b)x_{1}+(1+b^{2})x_{2}+(1+b^{3})x_{3}+(1+b^{4})x_{4}=0\\  (1+c)x_{1}+(1+c^{2})x_{2}+(1+c^{3})x_{3}+(1+b^{4})x_{4}=0\\  (1+d)x_{1}+(1+d^{2})x_{2}+(1+d^{3})x_{3}+(1+d^{4})x_{4}=0\end{cases}

6b. Cho ma trận \displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}1 & -1\\1 & 1\end{array}\right)
Hãy tính \displaystyle A^{2012}

MÔN GIẢI TÍCH

Câu 1. Cho hàm số \displaystyle f(x)=\frac{e^{x}}{(x+1)^{2}}

(i) Chứng minh rằng phương trình f(x)=x có nghiệm duy nhất trong \displaystyle (\frac{1}{2},1) và f'(x) là hàm đơn điệu tăng trên đoạn \displaystyle \text{[}\frac{\text{1}}{2},1]

(ii) Xét dãy số \{u_{n}\} xác định bởi \displaystyle u_{1}=1,\ u_{n+1}=f(u_{n}),\ n\in N*
Chứng minh rằng \displaystyle u_{n}\in\left[\frac{1}{2},1\right]\ \forall n\in N*

Câu 2. Tính tích phân \displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{dx}{1+x+x^{2}+\sqrt{1+3x^{2}+x^{4}}}

Câu 3. Cho hai dãy số x_{n}y_{n} thỏa mãn các điều kiện

\displaystyle x_{n+1}\geq\frac{x_{n}+y_{n}}{2} ; \displaystyle y_{n+1}\geq\sqrt{\frac{x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}{2}}\ \forall n\in N

(i) Chứng minh rằng các dãy x_{n}+y_{n}x_{n}y_{n} là đơn điệu tăng.

(ii) Giả sử rằng các dãy x_{n}y_{n} bị chặn. Chứng minh rằng các dãy \displaystyle \{x_{n}\} ,\ \{y_{n}\} hội tụ và \underset{n\rightarrow+\infty}{lim}x_{n}=\underset{n\rightarrow+\infty}{lim}y_{n}

Câu 4. Cho \alpha,\ \beta\in R thỏa mãn điều kiện

\displaystyle (1+\frac{1}{n})^{\alpha+n}<e<(1+\frac{1}{n})^{\beta+n},\ \forall n\in N^*

Tìm \displaystyle min|\alpha-\beta|

Câu 5. Ta gọi đoạn thẳng \displaystyle \text{[\ensuremath{\alpha},\ensuremath{\beta}]} là đoạn thẳng “tốt” nếu ứng với mỗi bộ ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện 2a+3b+6c=0 thì phương trình tương ứng ax^{2}+bx+c=0 có nghiệm thực thuộc đoạn \displaystyle \left[ \alpha,\beta \right] . Trong tất cả các đoạn thẳng tốt, hãy tìm đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất.

Câu 6. Thí sinh chọn một trong hai câu sau:

6a. Tìm hàm f:R\rightarrow R thỏa mãn điều kiện:

\displaystyle (x-y)f(x+y)-(x+y)f(x-y)=4xy(x^{2}-y^{2})\ \forall x,y\in R

6b. Cho hàm số f liên tục trên \displaystyle \text{\ensuremath{\left[\frac{1}{2},2\right]}} và thỏa mãn điều kiện

\displaystyle xf(x)+\frac{1}{x}f(\frac{1}{x})\leq2,\ \forall x\in\left[\frac{1}{2},2\right]

Chứng minh rằng

\displaystyle \int_{1/2}^{2}f(x)dx\leq2ln2

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: