Chứng minh công thức CAPM

Giả sử có 1 danh mục gồm n tài sản rủi ro, ta đã xây dựng được đường biên hiệu quả đối với n tài sản này (gọi là đường cong (C)). M là tiếp điểm của (C) với đường (CML).

Gọi A là một tài sản bất kỳ trong n tài sản của danh mục. Ta sẽ chứng minh:

\displaystyle E(R_{A})=R_{f}+\dfrac{Cov(A,M)}{\sigma_{M}^{2}}\times\left[E(R_{M})-R_{f}\right]

Gọi p là một phân bổ tài sản với tỉ lệ của A và M lần lượt là \displaystyle \alpha\displaystyle 1-\alpha

Với \displaystyle \alpha\in\left[0,1\right] thì p nằm trong hoặc trên đường biên hiệu quả, khi \displaystyle \alpha=0 thì p trùng với M.

Ta có:

\displaystyle \sigma_{p}^{2}=\alpha^{2}\sigma_{A}^{2}+(1-\alpha)^{2}\sigma_{M}^{2}+2\alpha(1-\alpha)Cov(A,M) (1)

\displaystyle E(R_{p})=\alpha E(R_{A})+(1-\alpha)E(R_{M}) (2)

Từ \displaystyle (1)\Rightarrow\dfrac{d\sigma_{p}}{d\alpha}=\dfrac{\left(\sigma_{A}^{2}+\sigma_{M}^{2}-2Cov(A,M)\alpha+\left(Cov(A,M\right)-\sigma_{M}^{2}\right)}{\sigma_{p}}

\displaystyle \Rightarrow\left.\dfrac{dE(R_{p})}{d\sigma_{p}}\right|_{\alpha=0}=\dfrac{E(R_{A})-E(R_{M})}{Cov(A.M)-\sigma_{M}^{2}}\times\sigma_{M} (3)

Từ \displaystyle (2)\Rightarrow\left.\dfrac{dE(R_{p})}{d\alpha}\right|_{\alpha=0}=\dfrac{E(R_{A})-E(R_{M})}{Cov(A,M)-\sigma_{M}^{2}}\times\sigma_{M} (4)

Từ (3) và (4) suy ra:

\displaystyle \left.\dfrac{dE(R_{p})}{d\sigma_{p}}\right|_{\alpha=0}=\dfrac{E(R_{A})-E(R_{M})}{Cov(A,M)-\sigma_{M}^{2}}\times\sigma_{M} (5)

Vì (CML) tiếp xúc với (C) tại M và khi \displaystyle \alpha=0 thì p trùng với M nên hệ số góc của đường (CML) bằng với đạo hàm của phương trình tập hợp p tại \displaystyle \alpha=0 (hay cũng chính là tại M):

\displaystyle \dfrac{E(R_{M})-R_{f}}{\sigma_{M}}=\left.\dfrac{dE(R_{p})}{d\sigma_{p}}\right|_{\alpha=0}

\displaystyle \overset{(5)}{\Rightarrow}\dfrac{E(R_{M})-R_{f}}{\sigma_{M}}=\dfrac{E(R_{A})-E(R_{M})}{Cov(A,M)-\sigma_{M}^{2}}\times\sigma_{M}

\displaystyle \Rightarrow\dfrac{E(R_{M})-R_{f}}{\sigma_{M}^{2}}=\dfrac{E(R_{A})-E(R_{M})}{Cov(A,M)-\sigma_{M}^{2}}

\displaystyle \Rightarrow\dfrac{E(R_{M})-R_{f}}{\sigma_{M}^{2}}=\dfrac{E(R_{A})-R_{f}}{Cov(A,M)}

\displaystyle \Rightarrow E(R_{A})=R_{f}+\dfrac{Cov(A,M)}{\sigma_{M}^{2}}\times\left[E(R_{M})-R_{f}\right] (đpcm)

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: